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高中数学概率与统计

2020-11-21 21:40:12  来源:五爱资讯网

    :高中数学概率与统计知识点

    高中数学之概率与统计

    求等可能性事件、互斥事件和相互独立事件的概率

    解此类题目常应用以下知识:

    card(A)m

    (1)等可能性事件(古典概型)的概率:P(A)=card(I)=;

    等可能事件概率的计算步骤: 计算一次试验的基本事件总数n;

    设所求事件A,并计算事件A包含的基本事件的个数m; 依公式

    P(A)

    m

    n求值;

    答,即给问题一个明确的答复.

    (2)互斥事件有一个发生的概率:P(A+B)=P(A)+P(B); 特例:对立事件的概率:P(A)+P(A)=P(A+A)=1. (3)相互独立事件同时发生的概率:P(A·B)=P(A)·P(B);

    kkn?k

    特例:独立重复试验的概率:Pn(k)=Cnp(1?p).其中P为事件A在一次试验中发生的

    概率,此式为二项式[(1-P)+P]n展开的第k+1项. (4)解决概率问题要注意“四个步骤,一个结合”:

    求概率的步骤是:

    ?等可能事件

    ?互斥事件

    ?独立事件

    第一步,确定事件性质?n次独立重复试验

    即所给的问题归结为四类事件中的某一种.

    ?和事件

    第二步,判断事件的运算?积事件

    即是至少有一个发生,还是同时发生,分别运用相加或相乘事件.

    m

    等可能事件: P(A)? ?n

    互斥事件:P(A?B)?P(A)?P(B)

    ?独立事件:P(A?B)?P(A)?P(B) ?kkn?kn次独立重复试验:Pn(k)?Cnp(1?p)

    第三步,运用公式求解

    第四步,答,即给提出的问题有一个明确的答复.

    2345

    例1.在五个数字1,,,,中,若随机取出三个数字,则剩下两个数字都是奇数的概率是

    (结果用数值表示).

    C1333

    P?3.

    C510

    2 [解答过程]0.3提示:

    例2.一个总体含有100个个体,以简单随机抽样方式从该总体中抽取一个容量为5的样本,

    则指定的某个个体被抽到的概率为 .

    511

    P..

    10020 [解答过程]20提示:

    例3.接种某疫苗后,出现发热反应的概率为0.80.现有5人接种该疫苗,至少有3人出现发

    热反应的概率为__________.(精确到0.01)

    [考查目的] 本题主要考查运用组合、概率的基本知识和分类计数原理解决问题的能力,以及推理和运算能力.

    [解答提示]至少有3人出现发热反应的概率为

    345C5?0.803?0.202?C5?0.804?0.20?C5?0.805?0.94.

    故填0.94.

    离散型随机变量的分布列 1.随机变量及相关概念

    ①随机试验的结果可以用一个变量来表示,这样的变量叫做随机变量,常用希腊字母ξ、η等表示.

    ②随机变量可能取的值,可以按一定次序一一列出,这样的随机变量叫做离散型随机变量. ③随机变量可以取某区间内的一切值,这样的随机变量叫做连续型随机变量. 2.离散型随机变量的分布列

    ①离散型随机变量的分布列的概念和性质

    x,?取每一个值xi(i?1,一般地,设离散型随机变量?可能取的值为x1,x2,,i,

    2,)的概率P(xi)=Pi,则称下表.

    为随机变量?的概率分布,简称?的分布列.

    由概率的性质可知,任一离散型随机变量的分布列都具有下述两个性质: (1)Pi?0,i?1,2,?;(2)P1?P2=1. ②常见的离散型随机变量的分布列: (1)二项分布

    n次独立重复试验中,事件A发生的次数?是一个随机变量,其所有可能的取值为0,1,2,

    kkn?k

    n,并且Pk?P(k)?Cnpq,其中0?k?n,q?1?p,随机变量?的分布列如下:

    称这样随机变量?服从二项分布,记作?~B(n,p),其中

    kkn?k

    Cnpq?b(k;n,p) .

    n、

    p为参数,并记:

    (2) 几何分布

    在独立重复试验中,某事件第一次发生时所作的试验的次数?是一个取值为正整数的离散型随机变量,“k”表示在第k次独立重复试验时事件第一次发生. 随机变量?的概率分布为:

    例1.

    厂家在产品出厂前,需对产品做检验,厂家将一批产品发给商家时,商家按合同规定也需随机抽取一定数量的产品做检验,以决定是否接收这批产品.

    (Ⅰ)若厂家库房中的每件产品合格的概率为0.8,从中任意取出4件进行检验,求至少有1件是合格的概率;

    (Ⅱ)若厂家发给商家20件产品中,其中有3件不合格,按合同规定该商家从中任取2件.都进行检验,只有2件都合格时才接收这批产品.否则拒收,求出该商家检验出不合格产品数?的分布列及期望E?,并求出该商家拒收这批产品的概率.

    [解答过程](Ⅰ)记“厂家任取4件产品检验,其中至少有1件是合格品”为事件A 用对立事件A来算,有

    P?A1?PA?1?0.24?0.9984

    (Ⅱ)?可能的取值为0,1,2.

    2C17136

    P?02

    C20190,

    11C3C1751

    ?2

    C20190,

    P?1

    C323

    P?22

    C20190

    E0

    1365133

    ?1219019019010.

    记“商家任取2件产品检验,都合格”为事件B,则商家拒收这批产品的概率

    P?1?P?B1

    13627

    19095.

    27

    所以商家拒收这批产品的概率为95.

    例12.

    某项选拔共有三轮考核,每轮设有一个问题,能正确回答问题者进入下一轮考核,否则即被

    423

    淘汰. 已知某选手能正确回答第一、二、三轮的问题的概率分别为5、5、5,且各轮问题能

    否正确回答互不影响.

    (Ⅰ)求该选手被淘汰的概率;

    (Ⅱ)该选手在选拔中回答问题的个数记为?,求随机变量?的分布列与数学期望. (注:本小题结果可用分数表示)

    2,3),则 [解答过程]解法一:(Ⅰ)记“该选手能正确回答第i轮的问题”的事件为Ai(i?1,

    P(A1)

    432

    P(A2)?P(A3)?5,5,5,

    ?该选手被淘汰的概率

    P?P(A1?A1A2?A2A2A3)?P(A1)?P(A1)P(A2)?P(A1)P(A2)P(A3)

    142433101

    555555125.

    2,3,(Ⅱ)?的可能值为1,

    P(1)?P(A1)

    1

    5,

    428

    P(2)?P(A1A2)?P(A1)P(A2)

    5525, 4312

    P(3)?P(A1A2)?P(A1)P(A2)

    5525.

    的分布列为

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    1?E123

    5252525.

    ,2,3),则解法二:(Ⅰ)记“该选手能正确回答第i轮的问题”的事件为Ai(i?1

    P(A2)

    32P(A3)?5,5.

    P(A1)

    4

    5,

    432101?1

    555125. ?该选手被淘汰的概率P?1?P(A1A2A3)?1?P(A1)P(A2)P(A3)

    (Ⅱ)同解法一.

    离散型随机变量的期望与方差 随机变量的数学期望和方差 平.

    222

    ⑵离散型随机变量的方差:D(x1?E?)p1?(x2?E?)p2?(xn?E?)pn;

    (1)离散型随机变量的数学期望:Ex1p1?x2p2;期望反映随机变量取值的平均水

    方差反映随机变量取值的稳定与波动,集中与离散的程度.

    2

    ⑶基本性质:E(ab)?aEb;D(ab)?aD?.

    (4)若?~B(n,p),则 Enp ; D? =npq(这里q=1-p) ;

    如果随机变量?服从几何分布,P(k)?g(k,p),则

    例1.甲、乙两名工人加工同一种零件,两人每天加工的零件数相等,所得次品数分别为ε、η,ε和η

    E

    q1

    2

    p,D? =p其中q=1-p.

    则比较两名工人的技术水平的高低为 .

    思路:一是要比较两名工人在加工零件数相等的条件下出次品数的平均值,即期望;二是要看出次品数的波动情况,即方差值的大小.

    解答过程:工人甲生产出次品数ε的期望和方差分别为:

    E0

    613?120.7101010,

    D(0?0.7)2

    613

    ?(1?0.7)2(2?0.7)20.891101010;

    工人乙生产出次品数η的期望和方差分别为:

    E0

    532532

    D(0?0.7)2(1?0.7)2(2?0.7)20.664?120.7

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    10101010

    1010,

    由Eε=Eη知,两人出次品的平均数相同,技术水平相当,但Dε>Dη,可见乙的技术比较

    稳定.

    小结:期望反映随机变量取值的平均水平;方差反映随机变量取值的稳定与波动,集中与离散的程度. 例2.

    某商场经销某商品,根据以往资料统计,顾客采用的付款期数?的分布列为

    商场经销一件该商品,采用1期付款,其利润为200元;分2期或3期付款,其利润为250元;分4期或5期付款,其利润为300元.?表示经销一件该商品的利润.

    (Ⅰ)求事件A:“购买该商品的3位顾客中,至少有1位采用1期付款”的概率P(A); (Ⅱ)求?的分布列及期望E?.

    [解答过程](Ⅰ)由A表示事件“购买该商品的3位顾客中至少有1位采用1期付款”. 知A表示事件“购买该商品的3位顾客中无人采用1期付款”

    :高中数学概率统计

    第八讲 概率统计

    1.了解随机事件的发生存在着规律性和随机事件概率的意义.

    2.了解等可能性事件的概率的意义,会用排列组合的基本公式计算一些等可能性事件的概率.

    3.了解互斥事件、相互独立事件的意义,会用互斥事件的概率加法公式与相互独立事件的概率乘法公式计算一些事件的概率.

    4.会计算事件在n次独立重复试验中恰好发生k次的概率. 5. 掌握离散型随机变量的分布列. 6.掌握离散型随机变量的期望与方差. 7.掌握抽样方法与总体分布的估计. 8.掌握正态分布与线性回归.

    考点1. 求等可能性事件、互斥事件和相互独立事件的概率 解此类题目常应用以下知识:

    (1)等可能性事件(古典概型)的概率:P(A)=card(A)=m;

    等可能事件概率的计算步骤:

    ① 计算一次试验的基本事件总数n;

    ② 设所求事件A,并计算事件A包含的基本事件的个数m; ③ 依公式P(A)?m求值;

    n

    ④ 答,即给问题一个明确的答复.

    (2)互斥事件有一个发生的概率:P(A+B)=P(A)+P(B); 特例:对立事件的概率:P(A)+P(A)=P(A+A)=1. (3)相互独立事件同时发生的概率:P(A·B)=P(A)·P(B);

    kk

    特例:独立重复试验的概率:Pn(k)=Cnp(1?p)n?k.其中P为事件A在一次试验中发生的www.shanpow.com_高中数学概率与统计。

    概率,此式为二项式[(1-P)+P]n展开的第k+1项. (4)解决概率问题要注意“四个步骤,一个结合”:

    求概率的步骤是:

    ?等可能事件 第一步,确定事件性质互斥事件

    ?独立事件 n次独立重复试验

    即所给的问题归结为四类事件中的某一种. 第二步,判断事件的运算?和事件

    ?积事件

    即是至少有一个发生,还是同时发生,分别运用相加或相乘事件.

    m

    等可能事件: P(A)? ?第三步,运用公式求解 n

    互斥事件:P(A?B)?P(A)?P(B)

    ?独立事件:P(A?B)?P(A)?P(B) ?kkn?kn次独立重复试验:Pn(k)?Cnp(1?p)

    第四步,答,即给提出的问题有一个明确的答复.

    2345中,若随机取出三个数字,则剩下两个数字都是奇数的概率是 例1.在五个数字1,,,,

    (结果用数值表示).

    [考查目的]本题主要考查概率的概念和等可能性事件的概率求法.

    1

    [解答过程]0.3提示:P?C3?3?3.

    3

    C5

    2

    10

    例2.一个总体含有100个个体,以简单随机抽样方式从该总体中抽取一个容量为5的样本,则指定的某个个体被抽到的概率为 .

    [考查目的]本题主要考查用样本分析总体的简单随机抽样方式,同时考查概率的概念和等可能性事件的概率求法.www.shanpow.com_高中数学概率与统计。

    用频率分布估计总体分布,同时考查数的区间497.5g~501.5的意义和概率的求法. [解答过程]1.提示:P?5?1.

    1002020

    例3从自动打包机包装的食盐中,随机抽取20袋,测得各袋的质量分别为(单位:g):

    492 496 494 495 498 497 501 502 504 496 497 503 506 508 507 492 496 500 501 499

    根据的原理,该自动包装机包装的袋装食盐质量在497.5g~501.5g之间的概率约为__________.

    [考查目的]本题主要考查用频率分布估计总体分布,同时考查数的区间497.5g~501.5的意义和概率的求法.

    [解答过程]在497.5g~501.5内的数共有5个,而总数是20个,所以有5?1.

    204点评:首先应理解概率的定义,在确定给定区间的个体的数字时不要出现错误.

    例4.接种某疫苗后,出现发热反应的概率为0.80.现有5人接种该疫苗,至少有3人出现发热反应的概率为__________.(精确到0.01)
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